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<!DOCTYPE html>

<title>Schur-Komplement</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Schur-Komplement</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a> bezeichnet das Schur-Komplement eine <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a>, die sich aus den einzelnen Blöcken einer größeren Matrix berechnet. Das Schur-Komplement ist nach <a href="Issai_Schur" title="Issai Schur">Issai Schur</a> benannt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Sei M eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+m)\times (n+m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+m)\times (n+m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/239f99dd8459ce494584d1314f013c5846a974ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.01ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+m)\times (n+m)}" loading="lazy">-Matrix, die aus vier Teilblöcken zusammengesetzt ist:

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c451529af345549858ebcbdf217793a19d0ad8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.726ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei sei A eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\times n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\times n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59d2b4cb72e304526cf5b5887147729ea259da78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.63ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\times n}" loading="lazy">-, B eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\times m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\times m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d82325a2a02ad79bc7c347ba9702ad46eb0de824.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.276ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\times m}" loading="lazy">-, C eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\times n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\times n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12b23d207d23dd430b93320539abbb0bde84870d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.276ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m\times n}" loading="lazy">- und D eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\times m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\times m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/367523981d714dcd9214703d654bfdedbe58d44a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.921ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m\times m}" loading="lazy">-Matrix. Des Weiteren sei vorausgesetzt, dass A <a href="Regul%C3%A4re_Matrix" title="Reguläre Matrix">invertierbar</a> ist.

Die Matrix

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=D-CA^{-1}B\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dea595cd9937d744e14ff663ea9f783ec1dbfe41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.356ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S=D-CA^{-1}B\,}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt Schur-Komplement von A in M.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Interpretation_als_Ergebnis_der_Gaußelimination">Interpretation als Ergebnis der Gaußelimination</h2></div>

Das Schur-Komplement lässt sich als Ergebnis eines Schritts des <a href="Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren" title="Gaußsches Eliminationsverfahren">Gaußschen Eliminationsverfahrens</a> auf Ebene der Matrixblöcke interpretieren: Die formale Anwendung der Gaußelimination auf die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2\times 2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2\times 2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd967d734835dc2bf4d3f1b10707f0052a78a650.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.975ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2\times 2)}" loading="lazy">-<a href="Blockmatrix" title="Blockmatrix">Blockmatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> entspricht der Multiplikation von links mit der Matrix

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\left({\begin{matrix}I_{n}&0\\-CA^{-1}&I_{m}\end{matrix}}\right),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6878a12220f16a9ccb253b54aa2dbc4aeb3eaeee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.559ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L=\left({\begin{matrix}I_{n}&0\\-CA^{-1}&I_{m}\end{matrix}}\right),}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aba34f081d776e30204f3458e4f50b403b09e5c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.242ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/825a86a19a0ca0180993dfe3dde997e57c5bd30a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.698ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{m}}" loading="lazy"> die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n\times n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n\times n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0e369b52ee16c33d83f7cd0eb0f562fd91b7f3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.439ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n\times n)}" loading="lazy">- bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (m\times m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (m\times m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc020afed5e44fb2479cc66c4a6945b1f7d6ad41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (m\times m)}" loading="lazy">-<a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrizen</a> bezeichnen. Das Schur-Komplement erscheint dann im unteren, rechten Block des <a href="Matrizenprodukt" class="mw-redirect" title="Matrizenprodukt">Matrizenprodukts</a>:

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle LM=\left({\begin{matrix}A&B\\0&D-CA^{-1}B\end{matrix}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19d225d98b28c05cf900ba99ad2b9bdb8a5836eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.767ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle LM=\left({\begin{matrix}A&B\\0&D-CA^{-1}B\end{matrix}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Daher kann die <a href="Inverse_Matrix" title="Inverse Matrix">Inverse</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> aus der Inversen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und von seinem Schur-Komplement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> berechnet werden:

<msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{matrix}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359f6964616db72ecc3f221fffbba7809ee46b20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:56.068ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{matrix}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

oder auch

<msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}I_{n}&-A^{-1}B\\0&I_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A^{-1}&0\\0&S^{-1}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I_{n}&0\\-CA^{-1}&I_{m}\end{matrix}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ceed07929993599873666abb482d1d7735b24f4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:65.079ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}I_{n}&-A^{-1}B\\0&I_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A^{-1}&0\\0&S^{-1}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I_{n}&0\\-CA^{-1}&I_{m}\end{matrix}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Unter der Voraussetzung, dass M <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrisch</a> ist, ist M dann und nur dann <a href="Definitheit" title="Definitheit">positiv definit</a>, wenn A und das Schur-Komplement S positiv definit sind.

Analog zur oben angegebenen Definition lässt sich auch das Schur-Komplement zum Block D bilden.

Für zwei invertierbare Matrizen gleicher Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/577d686fc81d1d1eb3ae54e78aeee8957baf6718.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d5d4dffae5ee0db4cc433e252ee9ed7530e5cf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{2}}" loading="lazy"> mit den <a href="Untermatrix" title="Untermatrix">Teilmatrizen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1968fb0a2cb55abeedea015c395539abda13db4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{2},B_{2},C_{2},D_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{2},B_{2},C_{2},D_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e011c5cfd61f9e81b04c50a348384469ebcc8216.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{2},B_{2},C_{2},D_{2}}" loading="lazy"> seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}}" loading="lazy"> die entsprechenden Schur-Komplemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bc2435b217c1a0f46f8a517ffa225c6f9440e81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/577d686fc81d1d1eb3ae54e78aeee8957baf6718.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{1}}" loading="lazy">, bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ec73b8bc9abc3efb934f5a6ec2803713771f4bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{2}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d5d4dffae5ee0db4cc433e252ee9ed7530e5cf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{2}}" loading="lazy">. Mit der Definition des folgenden Matrix-Produkts

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A*B=A(A+B)^{-1}B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8f564ccfbe3e527ed79a172cf59ec20e1a0e8df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.797ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A*B=A(A+B)^{-1}B}" loading="lazy"> und wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{*}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d3325410f0949bfb47c30694d58411ab83c7137.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.293ex; margin-bottom: -0.379ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{*}}" loading="lazy"> das Schur-Komplement von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{1}*M_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{1}*M_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/324af807d968acc829b25f0a196e5a45ddaa1b01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.811ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{1}*M_{2}}" loading="lazy"> bezeichnet, das in entsprechender Weise wie für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{1},M_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{1},M_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b66e3a3dcb1a11e2a9ac7b65d40c059db38ab8c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.651ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{1},M_{2}}" loading="lazy"> gebildet wird, gilt, dass das Schur-Komplement des Produkts gleich dem Produkt der Schur-Komplemente ist: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{*}=S_{1}*S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{*}=S_{1}*S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/707ca8c4321e9c43b18ab5cf7e3625e956589178.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.731ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{*}=S_{1}*S_{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_bei_der_Lösung_linearer_Gleichungssysteme">Anwendung bei der Lösung linearer Gleichungssysteme</h2></div>

Das Schur-Komplement kann zur Lösung von <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">linearen Gleichungssystemen</a> der Form

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}f\\g\end{matrix}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e52e2a340be6af6f0a0bd19b157b76f4758f4b96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.625ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}f\\g\end{matrix}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

eingesetzt werden. Dabei bezeichnen x und f Vektoren der Länge n und y und g Vektoren der Länge m. Ausgeschrieben lautet dieses Gleichungssystem:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax+By=f\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0e701d2fc60a2f3185ba4f1dc0011f86209ea50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.597ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Ax+By=f\,}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Cx+Dy=g\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb2b399fa0870e4232ad4177d4f55ddcefdbffec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.618ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Cx+Dy=g\,}" loading="lazy"></dd></dl>

Multiplikation der ersten Gleichung von links mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -CA^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -CA^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79de377a25d03ff73c6705e03e6f5a97b0b18b88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.65ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -CA^{-1}}" loading="lazy"> und Addition zur zweiten Gleichung liefert

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (D-CA^{-1}B)y=g-CA^{-1}f.\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35b8336c579a0db44cd8ca9ff444ee10116576d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.545ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (D-CA^{-1}B)y=g-CA^{-1}f.\,}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn man also A und S invertieren kann, dann kann man diese Gleichung nach y auflösen und dann

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax=f-By\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/272916f446991242683c4cd20ca6af5e0bc5d595.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.597ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Ax=f-By\,}" loading="lazy"></dd></dl>

berechnen, um die Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy"> des ursprünglichen Problems zu erhalten.

Die Lösung eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+m)\times (n+m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+m)\times (n+m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/239f99dd8459ce494584d1314f013c5846a974ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.01ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+m)\times (n+m)}" loading="lazy">-Systems reduziert sich damit auf die Lösung eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\times n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\times n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59d2b4cb72e304526cf5b5887147729ea259da78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.63ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\times n}" loading="lazy">- und eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\times m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\times m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/367523981d714dcd9214703d654bfdedbe58d44a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.921ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m\times m}" loading="lazy">-Systems.

Eine wichtige Bemerkung in diesem Zusammenhang ist die Tatsache, dass die inverse Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ba3a7118652cffd5de466dc439ee9184371d50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.076ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{-1}}" loading="lazy"> in manchen <a href="Iteratives_Verfahren" class="mw-redirect" title="Iteratives Verfahren">iterativen numerischen Algorithmen</a> wie <a href="Krylov-Unterraum-Verfahren" class="mw-redirect" title="Krylov-Unterraum-Verfahren">Krylov-Unterraum-Verfahren</a> nicht explizit gebildet werden muss. Wie eine genauere Betrachtung der zu lösenden Gleichungssysteme zeigt, wird nur die Wirkung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ba3a7118652cffd5de466dc439ee9184371d50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.076ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{-1}}" loading="lazy"> auf die Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> und, im Laufe der iterativen Lösung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (D-CA^{-1}B)y=g-CA^{-1}f}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (D-CA^{-1}B)y=g-CA^{-1}f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46c52e86ebdf11dbfc97f38e863ac16b2ea3ee76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.511ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (D-CA^{-1}B)y=g-CA^{-1}f}" loading="lazy">, auf die vorherige Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{\text{alt}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{\text{alt}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb22404f3fa9e0afe004a962138a47eba0d58759.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.291ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{\text{alt}}}" loading="lazy"> benötigt, sodass die Bildung der Inversen als Lösung eines linearen Gleichungssystems aufgefasst werden kann. Gerade bei <a href="D%C3%BCnnbesetzte_Matrix" title="Dünnbesetzte Matrix">dünn besetzten Matrizen</a> ist dadurch eine sehr <a href="Effizienz_(Informatik)" title="Effizienz (Informatik)">effiziente</a> Lösung möglich.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Sattelpunktproblem" title="Sattelpunktproblem">Sattelpunktproblem</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Edgar Brunner, Ullrich Munzel: Nichtparametrische Datenanalyse. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43375-9, S. 268f (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=k_wQTpdWvW0C&pg=PA268#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2019-09-15" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Schur-Komplement&oldid=192282347">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>